Как пользоваться
- Выберите M/M/1 для одного канала или M/M/c для нескольких каналов с общей очередью.
- Введите интенсивность поступления λ и интенсивность обслуживания μ одного канала в одной единице времени и выберите её.
- Для M/M/c введите число каналов.
- Сначала смотрите загрузку и среднее ожидание, ниже — длину очереди, время пребывания и вероятность пустой системы.
Формулы
При a = λ/μ и ρ = a ÷ c (должно быть меньше 1):
- P₀ = 1 ÷ (Σₖ₌₀^{c−1} aᵏ/k! + aᶜ ÷ (c!(1 − ρ)));
- вероятность ожидания (Эрланг C) C = aᶜ ÷ (c!(1 − ρ)) × P₀;
- Lq = C × ρ ÷ (1 − ρ), Wq = Lq ÷ λ;
- W = Wq + 1/μ, L = λ × W.
Для одного канала это сводится к ρ = λ/μ, L = ρ ÷ (1 − ρ), W = 1 ÷ (μ − λ).
Пример расчёта
Одно окно, куда приходит 4 клиента в час, а сотрудник обслуживает 5 в час:
- загрузка ρ = 4 ÷ 5 = 80 %, и новому клиенту придётся ждать с вероятностью 80 %;
- окно свободно 20 % времени;
- в среднем 3,2 человека ждут, 4 находятся в системе;
- среднее ожидание в очереди Wq = 0,8 ÷ (5 − 4) = 0,8 h, полное время W = 1 h.
Добавим второе окно с той же общей очередью и скоростью 3 клиента в час на каждое (M/M/2, λ = 4, μ = 3): загрузка 66,67 %, вероятность ожидания 53,33 %, Wq = 0,2667 h, около 16 минут.
Советы
- Держите загрузку заметно ниже 100 %, если важно время ожидания: последние проценты обходятся дороже всего.
- Одна общая очередь лучше отдельных при той же суммарной мощности — именно это и описывает M/M/c.
- Если заявки приходят не случайно (по записи, партиями), модель даёт лишь грубую оценку.