Cómo se usa
- Elige M/M/1 para un solo servidor o M/M/c para varios servidores con una cola común.
- Introduce la tasa de llegada λ y la tasa de servicio μ de un servidor en la misma unidad de tiempo, y elige esa unidad.
- Para M/M/c, introduce el número de servidores.
- Mira primero la utilización y la espera media; el resto muestra la longitud de la cola, el tiempo en el sistema y la probabilidad de sistema vacío.
Fórmulas
Con a = λ/μ y ρ = a ÷ c (debe ser menor que 1):
- P₀ = 1 ÷ (Σₖ₌₀^{c−1} aᵏ/k! + aᶜ ÷ (c!(1 − ρ)));
- probabilidad de esperar (Erlang C) C = aᶜ ÷ (c!(1 − ρ)) × P₀;
- Lq = C × ρ ÷ (1 − ρ), Wq = Lq ÷ λ;
- W = Wq + 1/μ, L = λ × W.
Con un servidor se reducen a ρ = λ/μ, L = ρ ÷ (1 − ρ), W = 1 ÷ (μ − λ).
Ejemplo resuelto
Una ventanilla a la que llegan 4 clientes por hora y que atiende 5 por hora:
- utilización ρ = 4 ÷ 5 = 80 %, y un recién llegado espera con probabilidad del 80 %;
- la ventanilla está vacía el 20 % del tiempo;
- de media esperan 3,2 personas y hay 4 en el sistema;
- la espera media en la cola es Wq = 0,8 ÷ (5 − 4) = 0,8 h, y el tiempo total W = 1 h.
Con una segunda ventanilla y la misma cola, cada una atendiendo 3 por hora (M/M/2, λ = 4, μ = 3): utilización del 66,67 %, probabilidad de esperar del 53,33 % y Wq = 0,2667 h, unos 16 minutos.
Consejos
- Mantén la utilización bastante por debajo del 100 % si importa la espera: los últimos puntos son los que más tiempo cuestan.
- Una cola común es mejor que colas separadas con la misma capacidad total; eso es lo que modela M/M/c.
- Si las llegadas no son aleatorias (citas, lotes), el modelo solo sirve como orientación.