Calculadora de MCD y mcm
Escribe dos o más números enteros. Obtendrás su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo, cada paso del algoritmo de Euclides y la descomposición en factores primos de cada número.
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Cómo se usa
- Escribe de 2 a 20 números enteros, cada uno menor que un billón (10¹²), separados por comas, espacios o saltos de línea.
- El MCD y el mcm aparecen al momento, y debajo el algoritmo de Euclides y la descomposición en factores primos.
Cómo se calcula
Algoritmo de Euclides. Para dos números a > b se escribe a = q × b + r y se sigue con b y r hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD.
Factores primos. MCD = producto de los factores comunes con el menor exponente; mcm = producto de todos los factores con el mayor exponente. Para dos números hay un atajo: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b).
El mcm se calcula con aritmética entera exacta, así que incluso un mcm de decenas de cifras es exacto.
Ejemplo resuelto
84, 120 y 36:
- Euclides: 120 = 1 × 84 + 36, 84 = 2 × 36 + 12, 36 = 3 × 12 + 0, así que MCD(84, 120) = 12; después 36 = 3 × 12 + 0, y el MCD de los tres es 12.
- Factores: 84 = 2² × 3 × 7, 120 = 2³ × 3 × 5, 36 = 2² × 3².
- MCD = 2² × 3 = 12. mcm = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520.
Para qué sirve
- Fracciones. Con el MCD se simplifica una fracción (84/120 = 7/10 al dividir entre 12) y el mcm de los denominadores es el mínimo común denominador.
- Horarios. Dos autobuses que salen cada 12 y cada 18 minutos vuelven a coincidir a los mcm(12, 18) = 36 minutos.
- Baldosas y cortes. La baldosa cuadrada más grande que cubre exactamente un suelo de 84 × 120 cm mide MCD = 12 cm de lado.
Preguntas frecuentes
¿Qué son el MCD y el mcm?
El máximo común divisor es el mayor número que divide exactamente a todos los números dados. El mínimo común múltiplo es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos.
¿Cómo funciona el algoritmo de Euclides?
Se divide el número mayor entre el menor y se toma el resto. Después se divide el menor entre ese resto, y así sucesivamente. El último resto distinto de cero es el MCD. Para 120 y 84 los restos son 36, 12 y 0, así que el MCD es 12.
¿Cómo se calculan con factores primos?
Se descompone cada número en factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente; el mcm, el producto de todos los factores que aparecen, cada uno con su mayor exponente.
¿Y con tres números o más?
Se calcula por parejas, MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c), y lo mismo para el mcm. La calculadora muestra los pasos de Euclides de cada pareja.
¿Qué pasa con los negativos y el cero?
El signo no se tiene en cuenta, porque −12 y 12 tienen los mismos divisores. MCD(0, n) = n, el mcm de una lista con un 0 es 0, y el MCD de solo ceros no está definido.