Calculadora de distribución exponencial
La distribución exponencial describe el tiempo de espera entre sucesos aleatorios que ocurren a un ritmo medio constante: llamadas a un centro de atención, llegadas de clientes, la vida de una pieza que no se desgasta. Introduce la tasa λ o la media 1/λ y un valor x para obtener las probabilidades, la densidad y el cuantil.
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Cómo se usa
- Elige qué conoces, la tasa λ o el tiempo medio de espera μ, e introduce su valor.
- Introduce x para obtener P(X ≤ x), P(X > x) y la densidad.
- Si quieres, añade x₂ para la probabilidad de caer entre dos valores y una probabilidad p para el cuantil.
Fórmulas
Para X ~ Exp(λ), x ≥ 0:
- P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), P(X > x) = e^(−λx);
- P(x₁ < X ≤ x₂) = e^(−λx₁) − e^(−λx₂);
- f(x) = λe^(−λx);
- cuantil x_p = −ln(1 − p)/λ, mediana ln 2/λ, media 1/λ, varianza 1/λ².
Ejemplo resuelto
Los clientes llegan a un ritmo de 0,5 por minuto (un intervalo medio de 2 minutos). La probabilidad de que el siguiente llegue en menos de 3 minutos es 1 − e^(−1,5) = 0,7769, y la de esperar más, 0,2231. La probabilidad de un intervalo de entre 3 y 5 minutos es e^(−1,5) − e^(−2,5) = 0,141. La mitad de los intervalos duran menos que la mediana, 1,38629 minutos, y el 90 %, menos de 4,60517 minutos.
Consejos y errores frecuentes
- Las unidades deben coincidir: con una tasa por hora, x también va en horas.
- La tasa y la media son inversas: una media de 2 introducida como tasa 2 da una respuesta muy distinta.
- El modelo supone una tasa constante; para piezas que se desgastan o colas con horas punta hacen falta otras distribuciones.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las fórmulas de la distribución exponencial?
Con tasa λ: densidad f(x) = λe^(−λx), función de distribución P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) y P(X > x) = e^(−λx) para x ≥ 0. La media y la desviación típica valen 1/λ, y la mediana ln 2/λ.
¿Qué es la falta de memoria?
P(X > s + t | X > s) = P(X > t): si ya has esperado s minutos, la probabilidad de esperar t más no cambia. Entre las distribuciones continuas, solo la exponencial tiene esta propiedad.
¿Qué relación tiene con la distribución de Poisson?
Si los sucesos forman un proceso de Poisson de tasa λ, el tiempo entre sucesos consecutivos es exponencial de parámetro λ, y el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una Poisson de media λ.
¿Cómo hallo el tiempo en que se completa el 90 % de los casos?
Es el cuantil: x = −ln(1 − p)/λ. Con λ = 0,5 por minuto y p = 0,9 sale −ln(0,1)/0,5 = 4,60517 minutos.