Калькулятор цепей Маркова
Введите матрицу переходов цепи Маркова с числом состояний до 10 и начальное распределение. Калькулятор покажет распределение через n шагов, предельное стационарное распределение в точных дробях, среднее время возврата в каждое состояние и поглощающие состояния.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Введите матрицу по строкам, например
0,9 0,1; 0,5 0,5: строки разделяет точка с запятой, числа — пробелы, а запятая между цифрами — десятичная.
- Задайте начальное распределение и число шагов.
- Посмотрите распределение через n шагов, а ниже — стационарное распределение.
Как это работает
Элементы матрицы читаются как точные дроби, и для каждой строки проверяется, что её сумма ровно 1. Распределение через n шагов получается многократным умножением вектора на матрицу. Стационарное распределение — решение системы πP = π вместе с Σπ = 1 методом Гаусса над рациональными числами; если единственного решения нет, в цепи несколько замкнутых классов, и инструмент об этом сообщает.
Разобранный пример
Погода как цепь Маркова: за солнечным днём солнечный следует с вероятностью 0,9, дождливый — с 0,1; за дождливым солнечный — с 0,5, дождливый — с 0,5. Если сегодня солнечно, вероятность солнца через два дня — 0,86. В долгосрочной перспективе π_солн · 0,1 = π_дожд · 0,5, поэтому π = [5/6; 1/6]: примерно 83 % дней солнечные.
Советы
- Пишите 1/3, а не 0,333, чтобы сумма строки была ровно 1.
- Состояния нумеруются в порядке строк: первая строка — состояние 1.
Частые вопросы
Как вычисляется распределение через n шагов?
Начальный вектор-строка умножается на матрицу переходов n раз: πₙ = π₀ · Pⁿ. Для P = [0,9 0,1; 0,5 0,5] и старта в состоянии 1 один шаг даёт [0,9; 0,1], а два шага — [0,9·0,9 + 0,1·0,5; …] = [0,86; 0,14].
Что такое стационарное распределение?
Распределение π, которое не меняется от шага к шагу: π · P = π, а сумма элементов равна 1. Калькулятор решает эти линейные уравнения точно. Для матрицы выше π = [5/6; 1/6].
Что означает среднее время возврата?
Если цепь находится в состоянии i, она возвращается в него в среднем через 1 / πᵢ шагов. При π = [5/6; 1/6] состояние 1 повторяется в среднем каждые 1,2 шага, а состояние 2 — каждые 6 шагов.
Что такое поглощающее состояние?
Состояние, из которого нельзя выйти: в его строке на диагонали стоит 1. Если в цепи одно поглощающее состояние, достижимое отовсюду, стационарное распределение сосредотачивает в нём всю вероятность.
Всегда ли цепь приходит к стационарному распределению?
Не всегда. Периодическая цепь — например, переключающаяся между двумя состояниями на каждом шаге — продолжает колебаться, хотя стационарное распределение существует. Сравните результат при большом n с π.