Разложение рациональной дроби на простейшие
Введите многочлены числителя и знаменателя. Если дробь неправильная, калькулятор сначала выделит целую часть, затем разложит знаменатель на множители и точно найдёт коэффициенты простейших дробей — это шаг перед интегрированием рациональной функции или обратным преобразованием Лапласа.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Введите числитель и знаменатель, например
3x + 5 и (x + 1)(x + 2).
- Посмотрите разложение; если дробь была неправильной, сначала идёт целая часть.
Как это работает
- Если deg N ≥ deg D, делим: N / D = Q + R / D.
- Раскладываем D над рациональными числами на линейные множители и неприводимые квадратные трёхчлены с их кратностями.
- Записываем по одному слагаемому с неизвестными на каждый множитель и каждую степень: A / (ax + b)ᵏ для линейных, (Bx + C) / (трёхчлен)ᵏ для квадратичных.
- Умножаем на D и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x. Получается квадратная линейная система, которая решается точно.
Разобранный пример
(3x + 5) / ((x + 1)(x + 2)) = A / (x + 1) + B / (x + 2), откуда 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1).
- При x = −1: 2 = A, то есть A = 2.
- При x = −2: −1 = −B, то есть B = 1.
Ответ: 2 / (x + 1) + 1 / (x + 2).
Советы
- Проверить результат можно, сложив дроби обратно под общим знаменателем.
- После разложения ∫ A / (x − r) dx = A ln|x − r|, а (Bx + C) / (x² + 1) даёт логарифм и арктангенс.
Частые вопросы
Что такое разложение на простейшие дроби?
Запись дроби многочленов в виде суммы более простых дробей, знаменатели которых — множители исходного знаменателя. Например, (3x + 5) / ((x + 1)(x + 2)) = 2 / (x + 1) + 1 / (x + 2). Каждую простейшую дробь легко проинтегрировать.
Какой вид имеют простейшие дроби?
Линейному множителю (x − r) соответствует A / (x − r). Кратному множителю (x − r)² — A / (x − r) + B / (x − r)². Неприводимому квадратному трёхчлену вроде x² + 1 — (Bx + C) / (x² + 1); для кратных квадратичных множителей так же берётся по слагаемому на каждую степень.
Что если степень числителя не меньше степени знаменателя?
Тогда дробь неправильная, и сначала многочлены делятся столбиком. Частное показывается как целая часть, а на простейшие раскладывается остаток. Например, (x³ + 1) / (x² − 1) = x + 1 / (x − 1).
Как калькулятор раскладывает знаменатель на множители?
Он выносит степени x, затем перебирает все рациональные корни p/q, допустимые по теореме о рациональных корнях, и выделяет кратные множители через наибольший общий делитель. Оставшийся множитель должен быть степени не выше 2; иначе введите знаменатель уже разложенным.
Коэффициенты точные?
Да. Неизвестные находятся решением линейной системы в точных дробях, поэтому 1/(x² − 1) получается как 1/(2(x − 1)) − 1/(2(x + 1)), а не 0,5/(x − 1).