Calculadora de cadenas de Markov
Escribe la matriz de transición de una cadena de Markov de hasta 10 estados y una distribución inicial. La calculadora da la distribución tras n pasos, la distribución estacionaria a largo plazo en fracciones exactas, el tiempo medio de retorno de cada estado y los estados absorbentes.
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Cómo se usa
- Escribe la matriz fila a fila, por ejemplo
0,9 0,1; 0,5 0,5: el punto y coma separa filas, los espacios separan números y la coma entre cifras es decimal.
- Introduce la distribución inicial y el número de pasos.
- Lee la distribución tras n pasos y, debajo, la distribución estacionaria.
Cómo funciona
Los elementos de la matriz se leen como fracciones exactas y se comprueba que cada fila sume exactamente 1. La distribución tras n pasos sale de multiplicar repetidamente el vector por la matriz. La distribución estacionaria resuelve πP = π junto con Σπ = 1 por eliminación de Gauss sobre los racionales; si el sistema no tiene una única solución, la cadena tiene varias clases cerradas y la herramienta lo indica.
Ejemplo resuelto
El tiempo como cadena: a un día soleado le sigue otro soleado con 0,9 y uno lluvioso con 0,1; a uno lluvioso le sigue uno soleado con 0,5 y otro lluvioso con 0,5. Si hoy hace sol, la probabilidad de sol dentro de dos días es 0,86. A largo plazo π_sol · 0,1 = π_lluvia · 0,5, así que π = [5/6; 1/6]: alrededor del 83 % de los días son soleados.
Consejos
- Escribe 1/3 en lugar de 0,333 para que la fila sume exactamente 1.
- Los estados se numeran en el orden de las filas: la primera fila es el estado 1.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la distribución tras n pasos?
El vector fila inicial se multiplica n veces por la matriz de transición: πₙ = π₀ · Pⁿ. Con P = [0,9 0,1; 0,5 0,5] y empezando en el estado 1, un paso da [0,9; 0,1] y dos pasos dan [0,9·0,9 + 0,1·0,5; …] = [0,86; 0,14].
¿Qué es la distribución estacionaria?
La distribución π que no cambia de un paso al siguiente: π · P = π, con elementos que suman 1. La calculadora resuelve estas ecuaciones lineales de forma exacta. Para la matriz anterior, π = [5/6; 1/6].
¿Qué significa el tiempo medio de retorno?
Si la cadena está en el estado i, tarda de media 1 / πᵢ pasos en volver a él. Con π = [5/6; 1/6], el estado 1 se repite cada 1,2 pasos de media y el estado 2 cada 6 pasos.
¿Qué es un estado absorbente?
Un estado del que no se puede salir: su fila tiene un 1 en la diagonal. En una cadena con un estado absorbente alcanzable desde todos los demás, la distribución estacionaria pone ahí toda la probabilidad.
¿La cadena siempre llega a la distribución estacionaria?
No siempre. Una cadena periódica, como una que alterna entre dos estados en cada paso, sigue oscilando aunque exista una distribución estacionaria. Compara el resultado para un n grande con π para comprobarlo.