Калькулятор логистического роста
Введите начальную численность, собственную скорость роста и емкость среды. Получите численность через заданное время или время, за которое популяция достигнет нужной численности, а также текущую скорость роста, момент самого быстрого роста и то, куда дошел бы обычный экспоненциальный рост.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Выберите поиск численности в момент времени или времени до нужной численности.
- Введите начальную численность N₀, емкость среды K и скорость роста r.
- Введите время t или целевую численность.
- Смотрите N(t) или время, долю от K, скорость роста и точку перегиба.
Формулы
- N(t) = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) × e^(−r·t))
- Время до N: t = ln((K − N₀) × N ÷ (N₀ × (K − N))) ÷ r
- Скорость роста: dN/dt = r × N × (1 − N ÷ K), не больше r × K ÷ 4 — при N = K ÷ 2
Пример расчета
N₀ = 10, K = 1000, r = 0,5 в сутки, t = 10 суток.
(K − N₀) ÷ N₀ = 99; e^(−5) = 0,0067379; 1 + 99 × 0,0067379 = 1,66706.
N = 1000 ÷ 1,66706 = 599,86 — 59,99 % от K. Популяция в этот момент растет на 0,5 × 599,86 × (1 − 0,59986) = 120,014 в сутки. Половину емкости она прошла при t = ln 99 ÷ 0,5 = 9,1902 суток, когда рост был максимальным — 125 в сутки.
До 900: t = ln(990 × 900 ÷ (10 × 100)) ÷ 0,5 = ln 891 ÷ 0,5 = 13,5847 суток.
Советы
- Выше K численность падает. Если N₀ > K, кривая убывает к K; калькулятор это учитывает.
- Как оценить r. В начале, пока N много меньше K, r близка к экспоненциальной скорости: r ≈ ln(N₂ ÷ N₁) ÷ (t₂ − t₁).
- Модель, а не прогноз. Реальные популяции колеблются, превышают емкость среды или живут в меняющихся условиях; используйте результат как первое приближение.
Частые вопросы
Как выглядит уравнение логистического роста?
dN/dt = r × N × (1 − N ÷ K). Его решение — N(t) = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) × e^(−r × t)). Сначала рост почти экспоненциальный, затем замедляется по мере приближения N к емкости среды K и выходит на плато.
Что такое емкость среды?
Наибольшая численность, которую среда может поддерживать своими ресурсами: пищей, пространством и прочим. В модели это уровень, на котором рождаемость и смертность уравновешиваются и рост прекращается.
Когда популяция растет быстрее всего?
При половине емкости среды — в точке перегиба S-образной кривой. Там dN/dt максимальна и равна r × K ÷ 4. Этот момент наступает при t = ln((K − N₀) ÷ N₀) ÷ r.
Чем это отличается от экспоненциального роста?
Экспоненциальный рост, N₀ × e^(r × t), никогда не замедляется. В примере по умолчанию логистическая популяция через 10 единиц времени равна 599,86, а неограниченный экспоненциальный рост дал бы уже 1484,13 — больше емкости среды.
Какую единицу времени выбрать?
Любую, если r и t в одной: r в сутки⁻¹ — t в сутках, r в год⁻¹ — t в годах.