Calculadora de crecimiento logístico
Introduce el tamaño inicial, la tasa intrínseca de crecimiento y la capacidad de carga. Obtendrás el tamaño tras un tiempo dado o el tiempo que tarda la población en alcanzar un tamaño, además de la velocidad de crecimiento en ese momento, cuándo crece más rápido y hasta dónde habría llegado un crecimiento exponencial sin límite.
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Cómo se usa
- Elige calcular el tamaño en un momento dado o el tiempo hasta un tamaño.
- Introduce el tamaño inicial N₀, la capacidad de carga K y la tasa de crecimiento r.
- Introduce el tiempo t o el tamaño objetivo.
- Lee N(t) o el tiempo, la fracción de K, la velocidad de crecimiento y el punto de inflexión.
Fórmulas
- N(t) = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) × e^(−r·t))
- Tiempo hasta N: t = ln((K − N₀) × N ÷ (N₀ × (K − N))) ÷ r
- Velocidad de crecimiento: dN/dt = r × N × (1 − N ÷ K), como máximo r × K ÷ 4, con N = K ÷ 2
Ejemplo resuelto
N₀ = 10, K = 1000, r = 0,5 por día, t = 10 días.
(K − N₀) ÷ N₀ = 99; e^(−5) = 0,0067379; 1 + 99 × 0,0067379 = 1,66706.
N = 1000 ÷ 1,66706 = 599,86, el 59,99 % de K. En ese momento la población crece 0,5 × 599,86 × (1 − 0,59986) = 120,014 por día. Pasó por la mitad de la capacidad en t = ln 99 ÷ 0,5 = 9,1902 días, cuando el crecimiento era máximo: 125 por día.
Hasta 900: t = ln(990 × 900 ÷ (10 × 100)) ÷ 0,5 = ln 891 ÷ 0,5 = 13,5847 días.
Consejos
- Por encima de K, la población baja. Si N₀ > K, la curva desciende hacia K; la calculadora lo tiene en cuenta.
- Cómo estimar r. Al principio, mientras N es mucho menor que K, r se parece a la tasa exponencial: r ≈ ln(N₂ ÷ N₁) ÷ (t₂ − t₁).
- Un modelo, no una predicción. Las poblaciones reales oscilan, superan la capacidad de carga o viven en condiciones cambiantes; usa el resultado como primera aproximación.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la ecuación del crecimiento logístico?
dN/dt = r × N × (1 − N ÷ K). Su solución es N(t) = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) × e^(−r × t)). Al principio el crecimiento es casi exponencial; después se frena a medida que N se acerca a la capacidad de carga K y se estabiliza en una meseta.
¿Qué es la capacidad de carga?
El tamaño máximo de población que el medio puede sostener con sus recursos: alimento, espacio y demás. En el modelo es el nivel en el que natalidad y mortalidad se equilibran y el crecimiento se detiene.
¿Cuándo crece más rápido la población?
A la mitad de la capacidad de carga, en el punto de inflexión de la curva en S. Ahí dN/dt es máxima e igual a r × K ÷ 4. Ese momento llega en t = ln((K − N₀) ÷ N₀) ÷ r.
¿En qué se diferencia del crecimiento exponencial?
El crecimiento exponencial, N₀ × e^(r × t), nunca se frena. En el ejemplo por defecto la población logística vale 599,86 tras 10 unidades de tiempo, mientras que un crecimiento exponencial sin límite ya daría 1484,13, más que la capacidad de carga.
¿Qué unidad de tiempo elijo?
Cualquiera, siempre que r y t usen la misma: r por día con t en días, r por año con t en años.