Calculadora de descomposición en fracciones parciales
Introduce un polinomio numerador y otro denominador. La calculadora divide primero si la fracción es impropia, factoriza el denominador y halla los coeficientes de las fracciones parciales de forma exacta: el paso previo a integrar una función racional o a calcular una transformada inversa de Laplace.
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Cómo se usa
- Escribe el numerador y el denominador, por ejemplo
3x + 5 y (x + 1)(x + 2).
- Lee la descomposición; si la fracción era impropia, primero aparece la parte polinómica.
Cómo funciona
- Si gr N ≥ gr D, se divide: N / D = Q + R / D.
- Se factoriza D sobre los racionales en factores lineales y cuadráticos irreducibles, con sus multiplicidades.
- Se escribe un término con incógnitas por cada factor y potencia: A / (ax + b)ᵏ para los lineales, (Bx + C) / (cuadrático)ᵏ para los cuadráticos.
- Se multiplica todo por D y se igualan los coeficientes de cada potencia de x. Queda un sistema lineal cuadrado que se resuelve de forma exacta.
Ejemplo resuelto
(3x + 5) / ((x + 1)(x + 2)) = A / (x + 1) + B / (x + 2), así que 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1).
- En x = −1: 2 = A, luego A = 2.
- En x = −2: −1 = −B, luego B = 1.
Resultado: 2 / (x + 1) + 1 / (x + 2).
Consejos
- Comprueba un resultado sumando de nuevo las fracciones con denominador común.
- Tras descomponer, ∫ A / (x − r) dx = A ln|x − r|, y (Bx + C) / (x² + 1) se separa en un logaritmo y un arcotangente.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la descomposición en fracciones parciales?
Reescribir una fracción de polinomios como suma de fracciones más simples cuyos denominadores son los factores del original. Por ejemplo, (3x + 5) / ((x + 1)(x + 2)) = 2 / (x + 1) + 1 / (x + 2). Cada fracción simple es fácil de integrar.
¿Qué forma tienen las fracciones?
Un factor lineal (x − r) da A / (x − r). Un factor repetido (x − r)² da A / (x − r) + B / (x − r)². Un cuadrático irreducible como x² + 1 da (Bx + C) / (x² + 1), y los cuadráticos repetidos llevan un término por potencia de la misma forma.
¿Y si el grado del numerador no es menor que el del denominador?
Entonces la fracción es impropia y primero se hace la división larga de polinomios. El cociente se muestra como parte polinómica y se descompone el resto. Por ejemplo, (x³ + 1) / (x² − 1) = x + 1 / (x − 1).
¿Cómo factoriza la calculadora el denominador?
Saca las potencias de x, prueba todas las raíces racionales p/q que permite el teorema de la raíz racional y separa los factores repetidos con un máximo común divisor. Lo que queda debe ser de grado 2 o menor; si no, escribe el denominador ya factorizado.
¿Los coeficientes son exactos?
Sí. Las incógnitas se obtienen resolviendo un sistema lineal con fracciones exactas, así que 1/(x² − 1) sale como 1/(2(x − 1)) − 1/(2(x + 1)), no como 0,5/(x − 1).