Калькулятор гипергеометрического распределения
Введите размер совокупности N, число успехов K в ней, число извлечений n и интересующее вас количество k. Вы получите точную вероятность, накопленную и хвостовые вероятности, среднее и стандартное отклонение, а также диаграмму распределения.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Введите N, K, n и k.
- Сначала смотрите P(X = k), затем накопленную и хвостовые вероятности.
- Диаграмма показывает всё распределение, значение k выделено.
Как это работает
Возможные значения лежат от max(0, n − (N − K)) до min(n, K). Калькулятор начинает с наименьшего значения и использует отношение соседних вероятностей P(k + 1) / P(k) = (K − k)(n − k) / ((k + 1)(N − K − n + k + 1)) в логарифмах, чтобы большие совокупности не вызывали переполнения, а затем нормирует значения так, чтобы их сумма была 1.
Разобранный пример
В урне 10 шаров, 5 из них красные. Не глядя достаём 3: P(ровно 2 красных) = C(5, 2) · C(5, 1) / C(10, 3) = 10 · 5 / 120 = 0,4167, а P(не меньше 2 красных) = (50 + 10) / 120 = 0,5.
Советы
- Карточные игры, совпадения в лотерее, выборочный контроль брака и метод мечения и повторного отлова — всё это гипергеометрические задачи.
- Если k вне возможного диапазона, вероятность равна 0 — инструмент показывает её, а не ошибку.
Частые вопросы
Какова формула гипергеометрического распределения?
P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n): число способов выбрать k успехов и n − k неудач, делённое на число всех способов выбрать n предметов. Для одного туза в пяти картах: C(4, 1) · C(48, 4) / C(52, 5) = 4 · 194 580 / 2 598 960 ≈ 0,2995.
Чем оно отличается от биномиального распределения?
Биномиальное предполагает одинаковую вероятность при каждом извлечении, как при выборке с возвращением. Без возвращения вероятность меняется после каждого извлечения — это и учитывает гипергеометрическое распределение. Если совокупность намного больше выборки, оба дают почти одинаковые числа.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха?
Введите k = 1 и смотрите P(X ≥ 1). Для хотя бы одного туза в пяти картах это 1 − C(48, 5)/C(52, 5) ≈ 0,3412.
Чему равны среднее и дисперсия?
Среднее n·K/N, дисперсия n·(K/N)·(1 − K/N)·(N − n)/(N − 1). Последний множитель — поправка на конечность совокупности — делает разброс меньше, чем у биномиального распределения.