Calculadora de distribución hipergeométrica
Introduce el tamaño de la población N, el número de éxitos K que contiene, el número de extracciones n y el valor k que te interesa. Obtienes la probabilidad exacta, las probabilidades acumulada y de las colas, la media y la desviación típica, y un gráfico de la distribución.
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Cómo se usa
- Introduce N, K, n y k.
- Lee primero P(X = k) y después las probabilidades acumulada y de las colas.
- El gráfico muestra toda la distribución con k resaltado.
Cómo funciona
Los valores posibles van de max(0, n − (N − K)) a min(n, K). La calculadora empieza por el valor más bajo y usa el cociente entre vecinos, P(k + 1) / P(k) = (K − k)(n − k) / ((k + 1)(N − K − n + k + 1)), en logaritmos para que las poblaciones grandes no desborden, y después escala los valores para que sumen 1.
Ejemplo resuelto
Una urna tiene 10 bolas, 5 de ellas rojas. Se sacan 3 sin mirar: P(exactamente 2 rojas) = C(5, 2) · C(5, 1) / C(10, 3) = 10 · 5 / 120 = 0,4167, y P(al menos 2 rojas) = (50 + 10) / 120 = 0,5.
Consejos
- Los juegos de cartas, los aciertos de lotería, el muestreo de defectos y los recuentos de captura-recaptura son todos hipergeométricos.
- Una k fuera del rango posible tiene probabilidad 0, y la herramienta la muestra en lugar de dar un error.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula hipergeométrica?
P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n): las formas de elegir k éxitos y n − k fracasos, divididas entre todas las formas de elegir n elementos. Para un as en una mano de cinco cartas: C(4, 1) · C(48, 4) / C(52, 5) = 4 · 194 580 / 2 598 960 ≈ 0,2995.
¿En qué se diferencia de la distribución binomial?
La binomial supone que cada extracción tiene la misma probabilidad, como cuando se devuelven los elementos. Sin reemplazo, la probabilidad cambia tras cada extracción, y eso es lo que tiene en cuenta la hipergeométrica. Cuando la población es mucho mayor que la muestra, ambas dan casi los mismos números.
¿Cómo obtengo la probabilidad de al menos uno?
Pon k = 1 y lee P(X ≥ 1). Para al menos un as en cinco cartas es 1 − C(48, 5)/C(52, 5) ≈ 0,3412.
¿Cuáles son la media y la varianza?
Media n·K/N y varianza n·(K/N)·(1 − K/N)·(N − n)/(N − 1). El último factor, la corrección por población finita, hace la dispersión menor que en la binomial.