Калькулятор параболы
Введите коэффициенты a, b и c параболы с ветвями вверх или вниз (y = ax² + bx + c) либо вбок (x = ay² + by + c). Вы получите вершину, фокус, директрису, ось симметрии, точки пересечения с осями, фокусное расстояние и вершинную форму, а также график.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Выберите, куда направлены ветви: вверх/вниз или влево/вправо.
- Введите a, b и c. Можно писать дроби и константы вроде 1/4 или sqrt(2); число можно писать с запятой (0,5), а в формулах — с точкой (sqrt(0.5)).
- Вершина и фокус показаны сверху, остальное — ниже; сверьтесь с графиком.
Формулы
Для y = ax² + bx + c:
- вершина (h; k): h = −b / (2a), k = c − b² / (4a)
- фокусное расстояние p = 1 / (4a); фокус (h; k + p); директриса y = k − p
- ось симметрии x = h; длина фокальной хорды |1/a|
- пересечения с осью x — по формуле корней квадратного уравнения; с осью y — (0; c)
Для x = ay² + by + c формулы те же, только x и y меняются местами.
Разобранный пример
y = 2x² − 4x + 1: вершина (1; −1). p = 1/8 = 0,125, поэтому фокус (1; −0,875), а директриса y = −1,125. Вершинная форма — y = 2(x − 1)² − 1, корни x = 1 ± √2 / 2, примерно 0,2929 и 1,7071.
Советы
- Знак a задаёт направление ветвей: при положительном — вверх (или вправо), при отрицательном — вниз (или влево).
- Чем больше |a|, тем уже парабола и тем ближе фокус к вершине.
- Если нужны только корни, решатель квадратных уравнений покажет решение по шагам.
Частые вопросы
Как найти вершину параболы?
Для y = ax² + bx + c вершина находится в точке x = −b / (2a), её ордината y = c − b² / (4a). Для y = 2x² − 4x + 1 это x = 4 / 4 = 1 и y = 1 − 16 / 8 = −1, то есть вершина (1; −1).
Как найти фокус и директрису?
Фокусное расстояние p = 1 / (4a). Фокус лежит на расстоянии p от вершины вдоль оси в ту сторону, куда направлены ветви, а директриса — прямая на расстоянии p от вершины с другой стороны. Для y = x² p = 1/4: фокус (0; 0,25), директриса y = −0,25.
Что такое вершинная форма?
y = a(x − h)² + k, где (h; k) — вершина. Она сразу показывает вершину и задаёт ту же параболу, что и стандартная запись ax² + bx + c.
Что если ветви параболы направлены вбок?
Выберите x = ay² + by + c. x и y меняются ролями: ось горизонтальна, директриса — вертикальная прямая x = …, а точки пересечения лежат на оси y. При положительном a ветви направлены вправо.
Почему не показаны точки пересечения?
Если дискриминант b² − 4ac отрицателен, парабола не пересекает ось и действительных корней нет. Вершина, фокус и директриса при этом всё равно существуют.