Calculadora de parábolas
Introduce los coeficientes a, b y c de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo (y = ax² + bx + c) o hacia los lados (x = ay² + by + c). Obtienes el vértice, el foco, la directriz, el eje de simetría, los cortes con los ejes, la distancia focal y la forma canónica, además de un esbozo.
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Cómo se usa
- Elige si la parábola abre arriba/abajo o izquierda/derecha.
- Introduce a, b y c. Valen fracciones y constantes como 1/4 o sqrt(2); un número puede llevar coma decimal (0,5), pero dentro de una fórmula va punto (sqrt(0.5)).
- Arriba verás el vértice y el foco, debajo el resto; compruébalo en la gráfica.
Fórmulas
Para y = ax² + bx + c:
- vértice (h; k): h = −b / (2a), k = c − b² / (4a)
- distancia focal p = 1 / (4a); foco (h; k + p); directriz y = k − p
- eje de simetría x = h; lado recto |1/a|
- cortes con el eje x por la fórmula general de segundo grado; corte con el eje y en (0; c)
Para x = ay² + by + c valen las mismas fórmulas intercambiando x e y.
Ejemplo resuelto
y = 2x² − 4x + 1: el vértice es (1; −1). p = 1/8 = 0,125, así que el foco es (1; −0,875) y la directriz y = −1,125. La forma canónica es y = 2(x − 1)² − 1 y las raíces son x = 1 ± √2 / 2, unos 0,2929 y 1,7071.
Consejos
- El signo de a decide la dirección: positivo abre hacia arriba (o la derecha), negativo hacia abajo (o la izquierda).
- Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la parábola y más cerca está el foco del vértice.
- Si solo necesitas las raíces, el solucionador de ecuaciones de segundo grado muestra el desarrollo paso a paso.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se halla el vértice de una parábola?
Para y = ax² + bx + c el vértice está en x = −b / (2a) y su y vale c − b² / (4a). Para y = 2x² − 4x + 1 eso da x = 4 / 4 = 1 e y = 1 − 16 / 8 = −1, así que el vértice es (1; −1).
¿Cómo se hallan el foco y la directriz?
La distancia focal es p = 1 / (4a). El foco está a p del vértice sobre el eje, hacia donde abre la parábola, y la directriz es la recta a p del vértice por el otro lado. Para y = x², p = 1/4: foco (0; 0,25), directriz y = −0,25.
¿Qué es la forma canónica o forma vértice?
y = a(x − h)² + k, donde (h; k) es el vértice. Muestra el vértice directamente y describe la misma parábola que la forma general ax² + bx + c.
¿Y si la parábola abre hacia los lados?
Elige x = ay² + by + c. Los papeles de x e y se intercambian: el eje es horizontal, la directriz es una recta vertical x = … y los cortes están en el eje y. Con a positivo abre hacia la derecha.
¿Por qué no aparecen cortes?
Cuando b² − 4ac es negativo la parábola no corta el eje, así que no hay raíces reales. El vértice, el foco y la directriz existen igualmente.