Калькулятор эллипса
Введите горизонтальную и вертикальную полуоси и при желании центр. Калькулятор найдёт фокусы, вершины, эксцентриситет, площадь и периметр — точный (с точностью до округления) и по приближению Рамануджана — и запишет уравнение.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Введите горизонтальную и вертикальную полуоси (половину ширины и половину высоты).
- При необходимости сдвиньте центр с помощью h и k.
- Посмотрите периметр и площадь, затем фокусы, вершины и остальное.
Формулы
Пусть a ≥ b — большая и малая полуоси:
- c = √(a² − b²), эксцентриситет e = c / a
- площадь = πab
- фокальная хорда = 2b² / a; директрисы на расстоянии a / e от центра
- уравнение: (x − h)² / rx² + (y − k)² / ry² = 1
Периметр считается через арифметико-геометрическое среднее: P = 2π / AGM(a, b) × (a² − Σ 2ⁿ⁻¹ cₙ²), где c₀² = a² − b² и cₙ₊₁ = (aₙ − bₙ) / 2.
Разобранный пример
Полуоси 5 и 3, центр в начале координат: c = 4, фокусы (±4; 0), вершины (±5; 0), концы малой оси (0; ±3), e = 0,8, площадь 15π ≈ 47,124, периметр ≈ 25,527. Формула Рамануджана совпадает примерно до десяти значащих цифр.
Советы
- Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов всегда равна 2a — на этом основан садовничий способ построения эллипса с верёвкой.
- Для окружности введите одно и то же значение дважды; периметр тогда равен 2πr.
Частые вопросы
Как найти фокусы эллипса?
Если a — большая полуось, а b — малая, фокусы лежат на большой оси на расстоянии c = √(a² − b²) от центра. Для a = 5 и b = 3 c = √16 = 4, так что при центре в начале координат фокусы — (−4; 0) и (4; 0).
Есть ли точная формула длины эллипса?
В элементарных функциях — нет: это эллиптический интеграл. Калькулятор вычисляет его через арифметико-геометрическое среднее, которое за несколько шагов сходится до полной двойной точности, и показывает также второе приближение Рамануджана π(a + b)(1 + 3h / (10 + √(4 − 3h))), h = (a − b)² / (a + b)², — для большинства форм оно очень близко.
Что такое эксцентриситет?
e = c / a — число от 0 до чуть меньше 1, показывающее, насколько вытянут эллипс. У окружности e = 0, у очень сплюснутого эллипса e близок к 1. Для a = 5, b = 3 e = 4 / 5 = 0,8.
Чему равна площадь эллипса?
π × a × b. Для полуосей 5 и 3 это 15π, примерно 47,124.
Какая ось большая?
Более длинная. Если длиннее вертикальная полуось, фокусы и вершины лежат на вертикальной прямой через центр, и калькулятор так их и показывает.