Calculadora de elipse
Introduce los semiejes horizontal y vertical y, si quieres, el centro. La calculadora halla los focos, los vértices, la excentricidad, el área y el perímetro —exacto salvo redondeo y con la aproximación de Ramanujan— y escribe la ecuación.
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Cómo se usa
- Introduce los semiejes horizontal y vertical (la mitad del ancho y la mitad del alto).
- Si quieres, desplaza el centro con h y k.
- Lee el perímetro y el área, y después los focos, los vértices y lo demás.
Fórmulas
Con a ≥ b los semiejes mayor y menor:
- c = √(a² − b²), excentricidad e = c / a
- área = πab
- lado recto = 2b² / a; directrices a a / e del centro
- ecuación: (x − h)² / rx² + (y − k)² / ry² = 1
El perímetro usa la media aritmético-geométrica: P = 2π / AGM(a, b) × (a² − Σ 2ⁿ⁻¹ cₙ²), con c₀² = a² − b² y cₙ₊₁ = (aₙ − bₙ) / 2.
Ejemplo resuelto
Semiejes 5 y 3, centro en el origen: c = 4, focos (±4; 0), vértices (±5; 0), covértices (0; ±3), e = 0,8, área 15π ≈ 47,124 y perímetro ≈ 25,527. La fórmula de Ramanujan coincide en unas diez cifras significativas.
Consejos
- La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es siempre 2a: es el método del jardinero para dibujarla con una cuerda.
- Para una circunferencia introduce el mismo valor dos veces; el perímetro es entonces 2πr.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se hallan los focos de una elipse?
Con a el semieje mayor y b el menor, los focos están a c = √(a² − b²) del centro sobre el eje mayor. Para a = 5 y b = 3, c = √16 = 4, así que con el centro en el origen los focos son (−4; 0) y (4; 0).
¿Hay una fórmula exacta del perímetro de la elipse?
No con funciones elementales: es una integral elíptica. La calculadora la evalúa con la media aritmético-geométrica, que converge en pocos pasos a la precisión doble completa, y también muestra la segunda aproximación de Ramanujan π(a + b)(1 + 3h / (10 + √(4 − 3h))), h = (a − b)² / (a + b)², muy cercana para la mayoría de las formas.
¿Qué es la excentricidad?
e = c / a, un número de 0 a algo menos de 1 que indica cuán alargada es la elipse. Una circunferencia tiene e = 0; una elipse muy achatada tiene e cerca de 1. Para a = 5, b = 3, e = 4 / 5 = 0,8.
¿Cuál es el área de una elipse?
π × a × b. Con semiejes 5 y 3 es 15π, unos 47,124.
¿Cuál es el eje mayor?
El más largo. Si el semieje vertical es más largo, los focos y los vértices están sobre una recta vertical que pasa por el centro, y la calculadora los da así.