Разложение функции в ряд Фурье
Введите функцию f(x), отрезок длиной в один период и нужное число членов. Калькулятор найдёт коэффициенты Фурье численным интегрированием, запишет ряд и построит частичную сумму поверх вашей функции.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Введите f(x) так, как она выглядит на одном периоде. Десятичные числа в формуле — через точку: 0.5*x.
- Задайте начало и конец периода, например −pi и pi (число можно писать и с запятой: 0,5).
- Выберите число членов и посмотрите коэффициенты; на графике f сравнивается с частичной суммой.
Как это работает
Каждый коэффициент — интеграл по одному периоду, вычисленный адаптивным методом Симпсона. Ряд записывается через sin(nx) и cos(nx), если период равен 2π, и через sin(nπx / L) и cos(nπx / L) в остальных случаях, где L = T / 2 — полупериод.
Разобранный пример
f(x) = x на отрезке от −π до π при N = 3: a₀ = 0 и все aₙ = 0, а b₁ = 2, b₂ = −1 и b₃ = 2/3. Значит,
x ≈ 2 sin(x) − sin(2x) + 0.6666666667 sin(3x).
Ряд записан как формула — с десятичной точкой, чтобы его можно было вставить в графический калькулятор; коэффициенты в строках n = 1 … N показаны с запятой.
Для f(x) = x² на том же отрезке: a₀ / 2 = π² / 3 ≈ 3,289868, a₁ = −4, a₂ = 1, a₃ = −4/9, все bₙ = 0.
Советы
- Гладким периодическим функциям хватает нескольких членов; функциям со скачками нужно много, и их коэффициенты убывают лишь как 1/n.
- График показывает только один период; ряд повторяет его влево и вправо.
Частые вопросы
По каким формулам считаются коэффициенты Фурье?
При периоде T = b − a и ω = 2π / T: a₀ = (2/T)∫f(x)dx, aₙ = (2/T)∫f(x)cos(nωx)dx и bₙ = (2/T)∫f(x)sin(nωx)dx, каждый интеграл — по одному периоду. Ряд: f(x) ≈ a₀/2 + Σ (aₙcos(nωx) + bₙsin(nωx)).
Почему для f(x) = x все aₙ равны нулю?
На симметричном отрезке, например от −π до π, у нечётной функции (f(−x) = −f(x)) есть только синусы, а у чётной (f(−x) = f(x)) — только косинусы и постоянная. x — нечётная функция, поэтому aₙ = 0, а bₙ = 2(−1)ⁿ⁺¹ / n.
Почему частичная сумма выскакивает у разрыва?
Это явление Гиббса: возле разрыва частичная сумма превышает скачок примерно на 9 % его величины, сколько бы членов ни взять. Выброс становится уже, но не меньше.
Коэффициенты точные?
Они вычисляются численно адаптивным методом Симпсона и для гладких функций точны до многих знаков после запятой; возле разрывов последние цифры могут отличаться от точной формулы.
Как ввести кусочно заданную функцию?
Специальной записи для кусочных функций нет, но помогает abs: abs(x)/x — прямоугольная волна, равная −1 при отрицательных x и 1 при положительных, а (x + abs(x))/2 равна 0 при отрицательных x и x при положительных.