Calculadora de series de Fourier
Introduce una función f(x), el intervalo que forma un periodo y cuántos términos quieres. La calculadora halla los coeficientes de Fourier por integración numérica, escribe la serie y dibuja la suma parcial sobre tu función.
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Cómo se usa
- Escribe f(x) tal como es en un periodo. Los decimales de la fórmula van con punto: 0.5*x.
- Introduce el inicio y el fin de ese periodo, por ejemplo −pi y pi (un número también admite coma decimal: 0,5).
- Elige el número de términos y lee los coeficientes; la gráfica compara f con la suma parcial.
Cómo funciona
Cada coeficiente es una integral sobre un periodo, calculada con integración de Simpson adaptativa. La serie se escribe con sin(nx) y cos(nx) cuando el periodo es 2π, y con sin(nπx / L) y cos(nπx / L) en otro caso, donde L = T / 2 es el semiperiodo.
Ejemplo resuelto
f(x) = x en −π a π con N = 3: a₀ = 0 y todos los aₙ = 0, mientras que b₁ = 2, b₂ = −1 y b₃ = 2/3. Así,
x ≈ 2 sin(x) − sin(2x) + 0.6666666667 sin(3x).
La serie se escribe como fórmula, con punto decimal, para poder pegarla en una calculadora gráfica; los coeficientes de las filas n = 1 … N se muestran con coma.
Para f(x) = x² en el mismo intervalo: a₀ / 2 = π² / 3 ≈ 3,289868, a₁ = −4, a₂ = 1, a₃ = −4/9 y todos los bₙ = 0.
Consejos
- Las funciones periódicas suaves necesitan pocos términos; las que tienen saltos necesitan muchos, y sus coeficientes solo decrecen como 1/n.
- La gráfica muestra un solo periodo; la serie lo repite a izquierda y derecha.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las fórmulas de los coeficientes de Fourier?
Con periodo T = b − a y ω = 2π / T: a₀ = (2/T)∫f(x)dx, aₙ = (2/T)∫f(x)cos(nωx)dx y bₙ = (2/T)∫f(x)sin(nωx)dx, cada una sobre un periodo. La serie es f(x) ≈ a₀/2 + Σ (aₙcos(nωx) + bₙsin(nωx)).
¿Por qué todos los aₙ son cero para f(x) = x?
En un intervalo simétrico como de −π a π, una función impar (f(−x) = −f(x)) solo tiene términos en seno y una par (f(−x) = f(x)) solo términos en coseno y la constante. x es impar, así que aₙ = 0 y bₙ = 2(−1)ⁿ⁺¹ / n.
¿Por qué la suma parcial se pasa en un salto?
Es el fenómeno de Gibbs: cerca de una discontinuidad la suma parcial se pasa en torno al 9 % del salto, tomes los términos que tomes. El pico se estrecha, pero no se reduce.
¿Los coeficientes son exactos?
Se calculan numéricamente con una regla de Simpson adaptativa y son precisos hasta muchos decimales en funciones suaves; cerca de los saltos las últimas cifras pueden diferir de la fórmula exacta.
¿Cómo introduzco una función definida a trozos?
No hay sintaxis para funciones a trozos, pero abs ayuda: abs(x)/x es una onda cuadrada que vale −1 para x negativa y 1 para x positiva, y (x + abs(x))/2 vale 0 para x negativa y x para x positiva.