Resolver ecuaciones diferenciales
Introduce el segundo miembro f(x, y), el punto inicial y el paso. El solucionador avanza de x₀ al punto final con el método de Euler, el de Heun (Euler mejorado) o el clásico de Runge-Kutta de cuarto orden y muestra y en cada paso y una gráfica.
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Cómo se usa
- Escribe f(x, y), el segundo miembro de y’ = f(x, y).
- Introduce la condición inicial x₀, y₀, la x final y el paso h. Estos números admiten coma decimal (0,1); en la fórmula f(x, y), solo punto.
- Elige un método y lee y al final, la tabla y la gráfica.
Cómo funciona
El intervalo de x₀ al final se divide en n = ⌈|x_final − x₀| / h⌉ pasos iguales. En cada paso, el método elegido estima la pendiente con f y avanza y:
- Euler usa la pendiente al inicio del paso.
- Heun promedia la pendiente al inicio y en el final predicho por Euler.
- RK4 combina cuatro pendientes: al inicio, dos en el punto medio y al final, con pesos 1 : 2 : 2 : 1.
Ejemplo resuelto
y’ = x + y, y(0) = 1, h = 0,1, hasta x = 1. La solución exacta es y = 2eˣ − x − 1, así que y(1) = 2e − 2 ≈ 3,436564. RK4 da 3,436559 (error de 5·10⁻⁶); Euler con el mismo paso da solo 3,187485.
Consejos
- Las ecuaciones rígidas, como y’ = −50(y − cos x), necesitan un paso pequeño con estos métodos explícitos o los valores oscilan.
- Escribe las potencias como x^2 y usa exp(x) o e^x para la exponencial.
Preguntas frecuentes
¿Qué método elijo?
Runge-Kutta 4 si buscas precisión: su error disminuye con h⁴, así que reducir el paso a la mitad divide el error por unas dieciséis. El método de Euler es el más sencillo y el primero que se enseña, pero su error solo disminuye en proporción a h. El de Heun queda en medio, con error proporcional a h².
¿Qué precisión tiene el resultado?
Es una aproximación. Para y' = y, y(0) = 1 y h = 0,1, el valor exacto y(1) es e = 2,718281828; Euler da 2,593742, Heun 2,714081 y RK4 2,718280. Una buena comprobación es reducir h a la mitad y ver si cambia la respuesta.
¿Cuáles son las fórmulas?
Euler: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Heun: promedia la pendiente al inicio y en el final predicho por Euler. RK4: yₙ₊₁ = yₙ + h(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6, con k₁ = f(xₙ, yₙ), k₂ = f(xₙ + h/2, yₙ + hk₁/2), k₃ = f(xₙ + h/2, yₙ + hk₂/2), k₄ = f(xₙ + h, yₙ + hk₃).
¿Resuelve ecuaciones de segundo orden?
No directamente; resuelve una ecuación de primer orden. Una ecuación de segundo orden debe reescribirse antes como un sistema de dos ecuaciones de primer orden, y esta herramienta no trabaja con sistemas.
¿Por qué dice que la solución explotó?
Algunas ecuaciones van de verdad al infinito en una x finita: y' = y², y(0) = 1 tiene la solución 1/(1 − x), que es infinita en x = 1. El solucionador se detiene cuando y deja de ser un número finito.