Калькулятор асимметрии и эксцесса
Вставьте данные, чтобы оценить форму распределения: асимметрию (насколько оно скошено) и эксцесс (насколько тяжёлые у него хвосты). Калькулятор выдаст выборочные коэффициенты с поправкой на смещение — как в Excel и SPSS, — моментные коэффициенты для совокупности и стандартные ошибки для их оценки.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
Вставьте числа, например 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9. Выборочные асимметрия и эксцесс — вверху, популяционные варианты, стандартные ошибки и z-значения — ниже.
Формулы
Со средним x̄ и центральными моментами m₂ = Σ(x − x̄)²/n, m₃ = Σ(x − x̄)³/n, m₄ = Σ(x − x̄)⁴/n:
- асимметрия совокупности g₁ = m₃ / m₂^(3/2); выборочная G₁ = g₁ · √(n(n − 1)) / (n − 2);
- эксцесс совокупности g₂ = m₄ / m₂² − 3; выборочный G₂ = ((n + 1)g₂ + 6)(n − 1) / ((n − 2)(n − 3));
- стандартные ошибки: SES = √(6n(n − 1) / ((n − 2)(n + 1)(n + 3))), SEK = 2 · SES · √((n² − 1) / ((n − 3)(n + 5))).
Пример
Данные 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: n = 8, среднее 5. Отклонения −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 дают m₂ = 32/8 = 4, m₃ = 42/8 = 5,25 и m₄ = 356/8 = 44,5.
- g₁ = 5,25 / 4^1,5 = 0,65625, G₁ = 0,65625 · √56 / 6 = 0,818488.
- g₂ = 44,5/16 − 3 = −0,21875, G₂ = (9 · (−0,21875) + 6) · 7 / 30 = 0,940625.
- SES = 0,752101, отношение асимметрии к ошибке — 1,08827: на восьми значениях правая асимметрия незначима.
Советы и частые ошибки
- Уточняйте, какой куртозис выдаёт программа: одни показывают g₂ + 3 (у нормального 3), большинство — эксцесс (у нормального 0).
- Асимметрия и эксцесс очень чувствительны к выбросам: одно крайнее значение может определять m₃ и m₄.
- На малых выборках стандартные ошибки большие, так что заметная на глаз асимметрия может ничего не значить.
Частые вопросы
Как понимать значение асимметрии?
0 — распределение симметрично. Положительная асимметрия — длинный правый хвост (немного очень больших значений, как у доходов), отрицательная — длинный левый хвост. По модулю больше 1 обычно считают сильной асимметрией.
Что такое эксцесс?
Коэффициент куртозиса минус 3, чтобы у нормального распределения было 0. Положительный эксцесс — хвосты тяжелее, а выбросов больше, чем у нормального; отрицательный — хвосты легче, как у равномерного распределения (−1,2).
Выборочная или для совокупности — какую формулу брать?
Если данные — выборка, по которой судят о большей совокупности, берите выборочные G₁ и G₂: они исправляют смещение моментных формул на малых выборках, их возвращают функции СКОС и ЭКСЦЕСС в Excel. Коэффициенты g₁ и g₂ описывают сами данные.
Как проверить, значима ли асимметрия?
Поделите её на стандартную ошибку. Грубое правило: отношение по модулю больше 2 говорит о том, что распределение в совокупности несимметрично. Для эксцесса так же.