Калькулятор двойного интеграла

Введите функцию от x и y и границы прямоугольника — калькулятор вычислит ∬ f(x, y) dx dy вложенным адаптивным методом Симпсона примерно до десяти значащих цифр. Заодно покажет площадь области и среднее значение функции на ней.

Функция f(x, y)Используйте x, y, числа, + - * / ^, скобки, pi, e и функции sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs со скобками. Пишите x*y, а не xy; дробная часть в формуле — через точку.

x отПределы — числа (можно 2,5) или выражения вроде pi/2 и sqrt(2).

x до

y отПределы по y постоянные: область — прямоугольник.

y до

∬ f(x, y) dx dy18

Площадь прямоугольника: 6
Среднее значение f: 3
Вычислений функции: 4225

Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.

Как пользоваться

Введите подынтегральную функцию, например x*y^2.
Укажите пределы по x и по y. Можно выражения, например pi.
Посмотрите интеграл, площадь и среднее значение.

Как это работает

Для каждого x внутренний интеграл ∫ f(x, y) dy от c до d считается адаптивным методом Симпсона: отрезок делится, пока оценка не перестанет меняться. Внешний интеграл по x от a до b устроен так же и в каждой точке вызывает внутренний. Внутренние интегралы считаются с более строгим допуском, чтобы их малые ошибки не накапливались во внешнем.

Пример

∬ x·y² dx dy по области 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3. Подынтегральная функция — произведение, поэтому интеграл равен ∫₀² x dx · ∫₀³ y² dy = 2 · 9 = 18. Калькулятор покажет 18, площадь 2 · 3 = 6 и среднее значение 18 / 6 = 3.

Советы и частые ошибки

Функции, которые обращаются в бесконечность в прямоугольнике, например 1/x при x = 0 на границе, дают ошибку, а не неверное число.
Для объёма под поверхностью f должна быть высотой над плоскостью xy: части ниже плоскости идут со знаком минус.
Произведения вроде sin(x)·cos(y) раскладываются на два однократных интеграла — простой способ проверить ответ.

Частые вопросы

Как вычисляется двойной интеграл?

По теореме Фубини двойной интеграл по прямоугольнику равен повторному: сначала интегрируем f(x, y) по y при фиксированном x, затем результат — по x. Калькулятор делает оба шага численно адаптивным методом Симпсона.

Можно ли взять область — треугольник или круг?

Напрямую нет: пределы постоянные, поэтому область — прямоугольник. Для других областей сначала сделайте замену переменных: круг в полярных координатах становится прямоугольником по r и θ с дополнительным множителем r.

Что такое среднее значение функции?

Интеграл, делённый на площадь области. Если f — высота, это высота прямоугольного бруска с тем же основанием и тем же объёмом.

Что если нижний предел больше верхнего?

Как и в одномерном случае, перестановка пределов одной пары меняет знак интеграла. Среднее значение всегда считается при пределах по возрастанию.

Ещё в разделе «Математика»

Все инструменты раздела: Математика ·Обновлено 4 ноября 2026 г.