Как пользоваться
- Введите векторы через точку с запятой:
1 1 0; 1 0 1; 0 1 1. - Выберите, показывать ортогональные векторы дробями или десятичными.
- Посмотрите u₁, u₂, … (ортогональные), e₁, e₂, … (единичной длины) и длины.
Как это работает
Калькулятор берёт u₁ = v₁, а из каждого следующего вектора вычитает его проекции на все предыдущие ненулевые u:
uₖ = vₖ − Σ (vₖ·uⱼ / uⱼ·uⱼ) uⱼ
Проекции считаются в точных дробях, поэтому у ортогональных векторов нет ошибок округления. Ортонормированный вектор — eₖ = uₖ / ‖uₖ‖, где ‖uₖ‖ = √(uₖ·uₖ). Если uₖ получился нулевым, значит, vₖ — линейная комбинация предыдущих: он отмечается как зависимый и пропускается.
Пример
Возьмём v₁ = (1; 1; 0), v₂ = (1; 0; 1), v₃ = (0; 1; 1).
- u₁ = (1; 1; 0), u₁·u₁ = 2.
- v₂·u₁ = 1, поэтому u₂ = v₂ − ½u₁ = (1/2; −1/2; 1), u₂·u₂ = 3/2.
- v₃·u₁ = 1 и v₃·u₂ = 1/2, поэтому u₃ = v₃ − ½u₁ − ⅓u₂ = (−2/3; 2/3; 2/3).
Длины равны 1,41421, 1,22474 и 1,1547, а ортонормированный базис — e₁ = (0,707107; 0,707107; 0), e₂ = (0,408248; −0,408248; 0,816497), e₃ = (−0,57735; 0,57735; 0,57735).
Советы и частые ошибки
- Проверьте ортогональность: скалярное произведение любых двух векторов u должно быть равно 0.
- Проецируйте на новые векторы u, а не на исходные v — это самая частая ошибка при ручном счёте.
- Чтобы получить ортонормированный базис пространства столбцов матрицы, введите её столбцы как векторы.