Субфакториал и число беспорядков

Сколькими способами можно разложить n писем по n конвертам так, чтобы ни одно не попало в свой? Введите n — калькулятор точно посчитает число беспорядков !n, вероятность !n/n! и число перестановок, где на месте остаются ровно k элементов.

Число элементов nЦелое число от 0 до 1000.

Неподвижных точек kНеобязательно: сколько элементов остаются на своих местах, от 0 до n.

Беспорядки !n44

Все перестановки n!: 120
Вероятность, что ни один не останется на месте: 0,3666666667
Вероятность, что хотя бы один останется на месте: 0,6333333333
Перестановки ровно с k неподвижными точками: 44
Вероятность ровно k неподвижных точек: 0,3666666667
Предел 1/e при больших n: 0,3678794412
!0, !1, !2, …: 1; 0; 1; 2; 9; 44

Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.

Как пользоваться

Введите число элементов n.
При желании введите k, чтобы посчитать перестановки ровно с k элементами на своих местах.
Посмотрите !n, n! и вероятности. Длинные числа на экране сокращаются, а кнопка копирования копирует все цифры.

Как это работает

Калькулятор точно, в целых числах, строит !0, !1, … !n по формуле !m = (m − 1)(!(m − 1) + !(m − 2)). Вероятность отсутствия неподвижных точек — !n/n!. Перестановок ровно с k неподвижными точками C(n, k)·!(n − k): выбираем k элементов, которые остаются, и переставляем в беспорядок остальные n − k.

Пример

n = 5: последовательность 1; 0; 1; 2; 9; 44, значит !5 = 44 из 5! = 120 перестановок. Вероятность, что ни один элемент не останется на месте, — 44/120 = 0,3666666667, а что хотя бы один останется, — 0,6333333333.

При k = 1: C(5, 1)·!4 = 5 · 9 = 45 перестановок оставляют на месте ровно один элемент, вероятность 45/120 = 0,375.

Советы и частые ошибки

!n — субфакториал, а не «n факториал»: восклицательный знак стоит перед числом.
При n = 1 беспорядков нет (!1 = 0), при n = 0 пустая перестановка считается одной (!0 = 1).
Жеребьёвка «Тайного Санты» честная, только если все беспорядки равновероятны: этого добиваются, проводя всю жеребьёвку заново, как только кто-то вытянул себя.

Частые вопросы

Что такое беспорядок?

Перестановка, в которой ни один элемент не стоит на исходном месте. У 1, 2, 3 таких две: 2, 3, 1 и 3, 1, 2. Их число — субфакториал !n.

Как считается !n?

По рекуррентной формуле !n = (n − 1)(!(n − 1) + !(n − 2)) при !0 = 1 и !1 = 0 или по формуле включений-исключений: !n = n! · Σ (−1)ᵏ/k!, k = 0…n. При n ≥ 1 это ещё и ближайшее целое к n!/e.

Какова вероятность, что в «Тайном Санте» никто не вытянет себя?

Это !n/n!: уже при 5 участниках она равна 0,3666666667, а с ростом n приближается к 1/e = 0,3678794412. То есть примерно в 37 % случайных жеребьёвок никто не вытянет своё имя.

Что такое числа встреч?

Число перестановок n элементов ровно с k неподвижными точками: C(n, k)·!(n − k). Выбираем, какие k элементов останутся на месте, а остальные переставляем в беспорядок. При k = 0 это !n.

Ещё в разделе «Математика»

Все инструменты раздела: Математика ·Обновлено 4 ноября 2026 г.