Калькулятор геометрического распределения

Сколько попыток понадобится до первого успеха? Введите вероятность успеха в каждом независимом испытании и k — калькулятор найдёт точную вероятность, что первый успех будет в k-м испытании, вероятности, что он случится не позже или позже, и ожидаемое число испытаний.

Вероятность успеха pВ каждом испытании, больше 0 и не больше 1, например 0,2.

kНомер испытания с первым успехом (с 1) или число неудач до него (с 0).

X — это

P(X = k)0,128

P(X ≤ k): 0,488
P(X < k): 0,36
P(X ≥ k): 0,64
P(X > k): 0,512
Математическое ожидание: 5
Дисперсия (1 − p)/p²: 20
Стандартное отклонение: 4,47214

Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.

Как пользоваться

Введите вероятность успеха p в одном испытании.
Введите k и выберите, что считает X: испытания (первый успех в k-м) или неудачи до первого успеха.
Посмотрите P(X = k) и накопленные вероятности. На графике — распределение, k выделено.

Формулы

При q = 1 − p и j — числе неудач до успеха (j = k − 1 при счёте испытаний, j = k при счёте неудач):

P(X = k) = qʲ · p;
P(X > k) = q^(j + 1), P(X ≥ k) = qʲ, P(X ≤ k) = 1 − q^(j + 1);
математическое ожидание 1/p (испытания) или q/p (неудачи), дисперсия q/p².

Пример

Менеджер закрывает сделку в 20 % звонков (p = 0,2). Вероятность, что первая продажа будет на третьем звонке, — 0,8² · 0,2 = 0,128. Вероятность продажи в первых трёх звонках — 1 − 0,8³ = 0,488, а трёх звонков без продажи — 0,512. В среднем до первой продажи 5 звонков, дисперсия 0,8/0,04 = 20, стандартное отклонение 4,47214.

Если считать неудачи, P(X = 3) — вероятность ровно трёх неудачных звонков до первой продажи: 0,8³ · 0,2 = 0,1024.

Советы и частые ошибки

Испытания должны быть независимыми с одинаковым p: вытягивание карт без возвращения — не геометрическое распределение.
«Хотя бы один успех за n испытаний» — это 1 − (1 − p)ⁿ, то же, что P(X ≤ n) при счёте испытаний.
Перед сравнением с учебником проверьте, какой вариант там используется: они отличаются на единицу в k и в среднем.

Частые вопросы

Какая формула геометрического распределения?

При счёте испытаний P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p: k − 1 неудача, затем успех. Функция распределения P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k, хвост P(X > k) = (1 − p)^k.

Сколько испытаний нужно в среднем?

1/p испытаний, или (1 − p)/p неудач до первого успеха. При шансе 1 к 6, как выбросить шестёрку, — в среднем 6 бросков. Дисперсия в обоих вариантах — (1 − p)/p².

Испытания или неудачи — какой вариант правильный?

Используют оба. В учебниках теории вероятностей часто считают испытания (значения 1, 2, …), а, например, функция dgeom в R считает неудачи (значения 0, 1, …). Форма одна и та же, сдвинутая на единицу.

Есть ли у него отсутствие памяти?

Да. После любого числа неудач вероятность, что понадобится ещё k испытаний, такая же, как в начале. Это дискретный аналог экспоненциального распределения.

Экспоненциальное распределениеP(X ≤ x), P(X > x), плотность и квантили экспоненциального (показательного) распределения по λ или среднему.

Ещё в разделе «Математика»

Все инструменты раздела: Математика ·Обновлено 4 ноября 2026 г.