Как пользоваться
- Введите массу m в килограммах.
- Введите жёсткость пружины k в Н/м.
- Введите коэффициент сопротивления b в кг/с (Н·с/м) — силу сопротивления на единицу скорости.
- При желании измените число колебаний, чтобы увидеть, насколько уменьшится амплитуда.
Формулы
Движение подчиняется уравнению m·x″ + b·x′ + k·x = 0.
- Собственная циклическая частота ω₀ = √(k ÷ m), собственная частота f₀ = ω₀ ÷ 2π
- Относительный коэффициент затухания ζ = b ÷ (2√(k·m)); критический коэффициент b_кр = 2√(k·m)
- Частота затухающих колебаний ω_d = ω₀ √(1 − ζ²) (только при ζ < 1), условный период T = 2π ÷ ω_d
- Добротность Q = 1 ÷ (2ζ)
- Логарифмический декремент δ = 2πζ ÷ √(1 − ζ²)
- Амплитуда убывает как e^(−b·t ÷ 2m): время затухания в e раз 2m ÷ b, через N колебаний остаётся e^(−N·δ)
Пример расчёта
m = 1 кг, k = 100 Н/м, b = 2 кг/с.
- ω₀ = √100 = 10 рад/с, f₀ = 1,5915 Гц
- ζ = 2 ÷ (2 × √100) = 0,1 — колебания затухающие; Q = 5
- ω_d = 10 × √0,99 = 9,9499 рад/с, f_d = 1,5836 Гц, T = 0,6315 с
- δ = 2π × 0,1 ÷ √0,99 = 0,6315; амплитуда уменьшается в e раз за 1 с
- через 10 колебаний остаётся лишь e^(−6,315) = 0,181 % начальной амплитуды
Советы
- Критическое затухание (b = 2√(k·m), здесь 20 кг/с) нужно доводчикам дверей и стрелкам приборов: без перерегулирования и быстрее всего.
- ζ по записи колебаний: возьмите два максимума через N периодов, δ = ln(A₀ ÷ A_N) ÷ N, затем ζ = δ ÷ √(4π² + δ²).
- Модель предполагает вязкое трение (сила пропорциональна скорости). При сухом трении амплитуда убывает линейно.