Как пользоваться
- Выберите, как задана прямая: уравнением или двумя точками.
- Введите точку M, например
5; 5. - Для уравнения — коэффициенты a, b, c (
3; 4; -10для 3x + 4y − 10 = 0), для двух точек — A и B.
Как это работает
- Уравнение: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Основание перпендикуляра — M − ((ax₀ + by₀ + c)/(a² + b²))·(a; b).
- Две точки: при направляющем векторе d = B − A параметр t = (M − A)·d / (d·d) даёт основание A + t·d, а расстояние — длина отрезка от M до него. На плоскости и в пространстве это работает одинаково; на плоскости показывается и уравнение прямой через A и B.
Пример
Прямая 3x + 4y − 10 = 0, точка M(5; 5): 3·5 + 4·5 − 10 = 25, √(9 + 16) = 5, значит d = 25/5 = 5. Основание перпендикуляра — (5; 5) − 25/25·(3; 4) = (2; 1); проверка: 3·2 + 4·1 − 10 = 0.
В пространстве: прямая через A(0; 0; 0) и B(1; 1; 1), точка M(1; 0; 0). t = 1/3, основание — (1/3; 1/3; 1/3), d = √(2/3) = 0,8164965809.
Советы и частые ошибки
- Классическая ошибка — забыть корень в знаменателе: |ax₀ + by₀ + c| само по себе расстояние, только если a² + b² = 1.
- Следите за знаками: у прямой 3x + 4y = 10 коэффициент c = −10.
- t от 0 до 1 означает, что основание лежит между A и B; иначе — на продолжении отрезка.