Cómo se usa
- Elige cómo está dada la recta: por su ecuación o por dos puntos.
- Introduce el punto P, por ejemplo
5; 5. - Para la ecuación, los coeficientes a, b, c (
3; 4; -10para 3x + 4y − 10 = 0); para dos puntos, A y B.
Cómo funciona
- Ecuación: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). El pie de la perpendicular es P − ((ax₀ + by₀ + c)/(a² + b²))·(a; b).
- Dos puntos: con el vector director d = B − A, el parámetro t = (P − A)·d / (d·d) da el pie A + t·d, y la distancia es la longitud del segmento de P a ese punto. Funciona igual en el plano y en el espacio; en el plano se muestra también la ecuación de la recta que pasa por A y B.
Ejemplo resuelto
Recta 3x + 4y − 10 = 0, punto P(5; 5): 3·5 + 4·5 − 10 = 25 y √(9 + 16) = 5, así que d = 25/5 = 5. El pie de la perpendicular es (5; 5) − 25/25·(3; 4) = (2; 1); comprobación: 3·2 + 4·1 − 10 = 0.
En el espacio: recta por A(0; 0; 0) y B(1; 1; 1), punto P(1; 0; 0). t = 1/3, el pie es (1/3; 1/3; 1/3) y d = √(2/3) = 0,8164965809.
Consejos y errores frecuentes
- El error clásico es olvidar la raíz del denominador: |ax₀ + by₀ + c| solo es la distancia cuando a² + b² = 1.
- Cuida los signos: en la recta 3x + 4y = 10 el coeficiente c es −10.
- Un t entre 0 y 1 significa que el pie está entre A y B; si no, está en la prolongación del segmento.