Как пользоваться
Введите натуральное число, например 28. Все свойства появятся сразу. Делители выписываются, если их не больше 100; количество и сумма показываются всегда. В строках «треугольное» и «Фибоначчи» указан номер: T7 — седьмое треугольное число, F10 — десятое число Фибоначчи.
Как это работает
Число раскладывается на множители перебором делителей. Из разложения n = p₁^e₁ · p₂^e₂ · … получаются количество делителей (e₁ + 1)(e₂ + 1)…, сумма делителей σ(n) = ∏ (p^(e+1) − 1)/(p − 1) и функция Эйлера φ(n) = n · ∏ (1 − 1/p). Сравнение σ(n) − n с n даёт ответ: совершенное, избыточное или недостаточное. Квадрат и куб проверяются целым корнем, треугольность — тем, что 8n + 1 полный квадрат, а принадлежность к числам Фибоначчи — проходом по последовательности.
Пример
n = 28 = 2² × 7. Делителей (2 + 1)(1 + 1) = 6: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Их сумма σ(28) = 7 · 8 = 56, значит, собственные делители дают 56 − 28 = 28: 28 — совершенное число. Оно чётное, не квадрат и не куб, треугольное (T7 = 7 · 8/2), не число Фибоначчи, сумма цифр — 10, φ(28) = 12, в двоичной записи — 11100.
Советы и частые ошибки
- 1 — ни простое, ни составное: у него один делитель.
- У больших чисел с множеством малых множителей могут быть тысячи делителей; тогда показываются только их количество и сумма.
- Все чётные совершенные числа имеют вид 2^(p−1)(2^p − 1), где 2^p − 1 простое; нечётных совершенных чисел не известно.