Как пользоваться
- Введите f(x), например
x^2. - Укажите отрезок [a, b] и число частей n.
- Выберите нужный метод; остальные тоже показаны, а для сравнения — точный интеграл. При n до 40 выписываются точки и значения функции.
Формулы
При Δx = (b − a)/n и xᵢ = a + iΔx:
- левые: Δx · [f(x₀) + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)];
- правые: Δx · [f(x₁) + … + f(xₙ)];
- средние: Δx · Σ f((xᵢ + xᵢ₊₁)/2);
- трапеции: Δx/2 · [f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)];
- Симпсон (n чётное): Δx/3 · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)].
Точное значение считается отдельно адаптивным методом Симпсона примерно до десяти знаков.
Пример
f(x) = x² на [0; 2] при n = 4: Δx = 0,5, значения f в точках 0; 0,5; 1; 1,5; 2 равны 0; 0,25; 1; 2,25; 4.
- Левые: 0,5 · (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75.
- Правые: 0,5 · (0,25 + 1 + 2,25 + 4) = 3,75.
- Средние: 0,5 · (0,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 3,0625) = 2,625.
- Трапеции: (1,75 + 3,75)/2 = 2,75.
- Симпсон: 0,5/3 · (0 + 1 + 2 + 9 + 4) = 2,666666667.
Интеграл равен 8/3 = 2,666666667, так что погрешность средних прямоугольников −0,04166666667, а метод Симпсона, как и положено для квадратичной функции, точен.
Советы и частые ошибки
- n — число прямоугольников, а не точек: у n отрезков n + 1 концов.
- При удвоении n погрешность средних и трапеций для гладких функций падает примерно в 4 раза, а Симпсона — в 16.
- Если f где-то на [a, b] не конечна, например 1/x на отрезке через 0, суммы теряют смысл, и калькулятор укажет эту точку.