Cómo se usa
- Escribe f(x), por ejemplo
x^2. - Indica el intervalo [a, b] y el número de partes n.
- Elige el método; los demás también se muestran, junto con la integral exacta para comparar. Con n hasta 40 se listan los puntos y los valores de la función.
Fórmulas
Con Δx = (b − a)/n y xᵢ = a + iΔx:
- izquierda: Δx · [f(x₀) + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)];
- derecha: Δx · [f(x₁) + … + f(xₙ)];
- punto medio: Δx · Σ f((xᵢ + xᵢ₊₁)/2);
- trapecio: Δx/2 · [f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)];
- Simpson (n par): Δx/3 · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)].
El valor exacto se calcula aparte con Simpson adaptativo, con unas diez cifras.
Ejemplo resuelto
f(x) = x² en [0; 2] con n = 4: Δx = 0,5, y los valores de f en 0; 0,5; 1; 1,5; 2 son 0; 0,25; 1; 2,25; 4.
- Izquierda: 0,5 · (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75.
- Derecha: 0,5 · (0,25 + 1 + 2,25 + 4) = 3,75.
- Punto medio: 0,5 · (0,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 3,0625) = 2,625.
- Trapecio: (1,75 + 3,75)/2 = 2,75.
- Simpson: 0,5/3 · (0 + 1 + 2 + 9 + 4) = 2,666666667.
La integral vale 8/3 = 2,666666667, así que el error del punto medio es −0,04166666667, y Simpson es exacto, como corresponde a una función cuadrática.
Consejos y errores frecuentes
- n es el número de rectángulos, no de puntos: n subintervalos tienen n + 1 extremos.
- Al duplicar n, el error del punto medio y del trapecio se divide por unos 4 en funciones suaves, y el de Simpson por unos 16.
- Si f no es finita en algún punto de [a, b], como 1/x en un intervalo que contiene el 0, las sumas no tienen sentido y la calculadora indica ese punto.