Калькулятор частных производных

Введите функцию от x, y и z — калькулятор найдёт частные производные по каждой переменной или все производные второго порядка, включая смешанные. Если указать точку, будут значения в ней, вектор-градиент и его длина.

Функция f(x, y, z)Используйте x, y, z, числа, + - * / ^, скобки, pi, e и функции sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs со скобками. Произведение букв — через * или пробел: x*y, а не xy. Дробная часть в формуле — через точку.

Порядок

Точка (x, y, z)Необязательно. Координаты в порядке x, y, z через точку с запятой или пробел, например 1; 2; 3. Пусто — только формулы.

∂f/∂x2 * x * y

∂f/∂y: x^2 + 3 * y^2 * z
∂f/∂z: y^3
Точка: (1; 2; 3)
f в точке: 26
∂f/∂x в точке: 4
∂f/∂y в точке: 37
∂f/∂z в точке: 8
Градиент ∇f: (4; 37; 8)
Модуль градиента |∇f|: 38,06573262

Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.

Как пользоваться

Введите функцию, например x^2*y + y^3*z.
Выберите первые или вторые производные.
При желании укажите точку, например 1; 2; 3, — появятся значения, градиент и его модуль.

Строки показываются только для переменных, которые есть в функции: у f(x, y) нет ∂f/∂z.

Как это работает

Функция разбирается в дерево выражения и дифференцируется по обычным правилам — суммы, произведения, частного, степени и сложной функции, — причём все переменные, кроме той, по которой берётся производная, считаются константами. Результат слегка упрощается и выводится формулой, которую можно снова вставить в поле. Вторые производные — это производная от первой: ∂²f/∂x∂y здесь означает «сначала по x, потом по y». Значения в точке вычисляются по формулам.

Пример

f(x, y, z) = x²y + y³z.

∂f/∂x = 2xy, выводится как 2 * x * y.
∂f/∂y = x² + 3y²z, выводится как x^2 + 3 * y^2 * z.
∂f/∂z = y³, выводится как y^3.

В точке (1; 2; 3): f = 1·2 + 8·3 = 26, ∂f/∂x = 4, ∂f/∂y = 1 + 3·4·3 = 37, ∂f/∂z = 8. Градиент — (4; 37; 8), его модуль √(16 + 1369 + 64) = √1449 = 38,06573262.

Советы и частые ошибки

Пишите x*y или x y: xy читается как одно неизвестное имя.
Углы в sin, cos и tan — в радианах.
Пометка «в этой точке не определено» означает деление на ноль или логарифм неположительного числа в этой точке, например ln(x) при x = 0.

Частые вопросы

Что такое частная производная?

Это скорость изменения функции нескольких переменных, когда меняется только одна переменная, а остальные считаются постоянными. Для f = x²y: ∂f/∂x = 2xy (y — как число), ∂f/∂y = x².

Равны ли смешанные производные ∂²f/∂x∂y и ∂²f/∂y∂x?

Если вторые производные непрерывны — да (теорема Шварца). Это верно для всех функций из многочленов, exp, sin и подобных вне точек, где они не определены. Калькулятор показывает одну смешанную производную для каждой пары переменных.

Что такое градиент?

Вектор из первых частных производных (∂f/∂x; ∂f/∂y; ∂f/∂z). В точке он направлен в сторону быстрейшего роста функции, а его модуль — скорость этого роста.

Можно ли использовать другие буквы для переменных?

Переменные — только x, y и z. Другие переименуйте перед вводом: например, функцию от r и t запишите как функцию от x и y.

Двойной интегралЧисленный двойной интеграл f(x, y) по прямоугольнику, площадь области и среднее значение функции.

Ещё в разделе «Математика»

Все инструменты раздела: Математика ·Обновлено 4 ноября 2026 г.