Cómo se usa
- Escribe los vectores separados por punto y coma:
1 1 0; 1 0 1; 0 1 1. - Elige si los vectores ortogonales se muestran en fracciones o decimales.
- Lee u₁, u₂, … (ortogonales), e₁, e₂, … (unitarios) y las normas.
Cómo funciona
La calculadora toma u₁ = v₁ y a cada vector siguiente le resta su proyección sobre cada u anterior no nulo:
uₖ = vₖ − Σ (vₖ·uⱼ / uⱼ·uⱼ) uⱼ
Las proyecciones usan fracciones exactas, así que los vectores ortogonales no tienen error de redondeo. Cada vector ortonormal es eₖ = uₖ / ‖uₖ‖ con ‖uₖ‖ = √(uₖ·uₖ). Si algún uₖ sale nulo, vₖ era combinación de los anteriores: se marca como dependiente y se omite.
Ejemplo resuelto
Sean v₁ = (1; 1; 0), v₂ = (1; 0; 1), v₃ = (0; 1; 1).
- u₁ = (1; 1; 0), u₁·u₁ = 2.
- v₂·u₁ = 1, así que u₂ = v₂ − ½u₁ = (1/2; −1/2; 1), u₂·u₂ = 3/2.
- v₃·u₁ = 1 y v₃·u₂ = 1/2, así que u₃ = v₃ − ½u₁ − ⅓u₂ = (−2/3; 2/3; 2/3).
Las normas son 1,41421, 1,22474 y 1,1547, y la base ortonormal es e₁ = (0,707107; 0,707107; 0), e₂ = (0,408248; −0,408248; 0,816497), e₃ = (−0,57735; 0,57735; 0,57735).
Consejos y errores frecuentes
- Comprueba la ortogonalidad: el producto escalar de cada par de vectores u debe ser 0.
- Proyecta sobre los nuevos vectores u, no sobre los v originales; es el error más común al hacerlo a mano.
- Para una base ortonormal del espacio columna de una matriz, introduce sus columnas como vectores.