Калькулятор экспоненциального распределения
Экспоненциальное (показательное) распределение описывает время ожидания между случайными событиями, которые происходят с постоянной средней интенсивностью: звонки в поддержку, приход покупателей, срок службы детали, которая не изнашивается. Введите интенсивность λ или среднее 1/λ и значение x — получите нужные вероятности, плотность и квантиль.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Выберите, что известно, — интенсивность λ или среднее время ожидания μ, — и введите значение.
- Введите x, чтобы получить P(X ≤ x), P(X > x) и плотность.
- При желании добавьте x₂ для вероятности попасть между двумя значениями и вероятность p для квантиля.
Формулы
Для X ~ Exp(λ), x ≥ 0:
- P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), P(X > x) = e^(−λx);
- P(x₁ < X ≤ x₂) = e^(−λx₁) − e^(−λx₂);
- f(x) = λe^(−λx);
- квантиль x_p = −ln(1 − p)/λ, медиана ln 2/λ, среднее 1/λ, дисперсия 1/λ².
Пример
Покупатели приходят в среднем 0,5 в минуту (средний интервал — 2 минуты). Вероятность, что следующий придёт в течение 3 минут, — 1 − e^(−1,5) = 0,7769, а прождать дольше — 0,2231. Вероятность интервала от 3 до 5 минут — e^(−1,5) − e^(−2,5) = 0,141. Половина интервалов короче медианы 1,38629 минуты, 90 % — короче 4,60517 минуты.
Советы и частые ошибки
- Единицы должны совпадать: при интенсивности в час x тоже в часах.
- Интенсивность и среднее — взаимно обратные величины: среднее 2, введённое как интенсивность 2, даст совсем другой ответ.
- Модель предполагает постоянную интенсивность; для изнашивающихся деталей или очередей с часом пик нужны другие распределения.
Частые вопросы
Какие формулы у экспоненциального распределения?
При интенсивности λ: плотность f(x) = λe^(−λx), функция распределения P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), P(X > x) = e^(−λx) при x ≥ 0. Среднее и стандартное отклонение равны 1/λ, медиана — ln 2/λ.
Что такое отсутствие памяти?
P(X > s + t | X > s) = P(X > t): если вы уже прождали s минут, вероятность прождать ещё t не меняется. Среди непрерывных распределений этим свойством обладает только экспоненциальное.
Как оно связано с распределением Пуассона?
Если события образуют пуассоновский поток с интенсивностью λ, время между соседними событиями распределено экспоненциально с параметром λ, а число событий за единицу времени — по Пуассону со средним λ.
Как найти время, за которое завершается 90 % случаев?
Это квантиль: x = −ln(1 − p)/λ. При λ = 0,5 в минуту и p = 0,9 получается −ln(0,1)/0,5 = 4,60517 минуты.