Калькулятор соотношения неопределённостей Гейзенберга
Введите, с какой точностью известно положение частицы, и выберите частицу — калькулятор покажет наименьший возможный разброс её импульса и скорости. Или переключитесь на энергию и время, введите время жизни состояния или длительность импульса и получите минимальный разброс энергии и частоты.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Выберите пару «координата — импульс» или «энергия — время».
- Для координаты выберите частицу (или введите массу в а. е. м.) и неопределённость Δx с единицей.
- Для энергии введите интервал времени Δt.
Формулы
- Импульс: Δp ≥ ħ ÷ (2Δx); скорость: Δv = Δp ÷ m.
- Энергия: ΔE ≥ ħ ÷ (2Δt); в эВ — ΔE ÷ 1,602176634 × 10⁻¹⁹; частота: Δf = ΔE ÷ h.
- ħ = h ÷ 2π, h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ Дж·с (точное значение с 2019 года).
Пример расчёта
Электрон в области Δx = 0,1 нм: Δp = 1,054572 × 10⁻³⁴ ÷ (2 × 10⁻¹⁰) = 5,27286E-25 kg·m/s, Δv = 5,27286 × 10⁻²⁵ ÷ 9,10938 × 10⁻³¹ = 578 838,18 m/s.
Протон в ядре, Δx = 1 фм: Δp = 5,27286E-20 kg·m/s, Δv = 31 524 512,58 m/s — около десятой доли скорости света.
Возбуждённое состояние со временем жизни Δt = 1 нс: ΔE = 5,27286E-26 J = 3,29106E-7 eV, разброс частоты 79 577 472 Hz.
Советы
- Это нижняя граница. Реальный разброс обычно больше; равенство достигается только для гауссова волнового пакета.
- Быстрые частицы. Если Δv близка к скорости света, нерелятивистская формула Δv = Δp ÷ m уже неточна, хотя Δp остаётся верным.
- Дело не в неловком измерении. Предел следует из волновой природы частиц, а не из того, что прибор «толкает» частицу.
Частые вопросы
Что утверждает соотношение неопределённостей?
Координату и импульс нельзя одновременно знать точно. Их неопределённости (стандартные отклонения) удовлетворяют Δx × Δp ≥ ħ ÷ 2, где ħ = h ÷ 2π = 1,054571817 × 10⁻³⁴ Дж·с. Чем точнее положение, тем шире разброс импульса.
Почему в обычной жизни это незаметно?
ħ очень мала. Для бусинки массой 1 г, положение которой известно с точностью 1 мкм, Δv около 5 × 10⁻²⁶ м/с. А для электрона, запертого в атоме размером 0,1 нм, то же соотношение даёт не меньше 578 838 м/с — поэтому электрон в атоме не может покоиться.
Что такое соотношение энергия — время?
ΔE × Δt ≥ ħ ÷ 2. У состояния, живущего Δt, или у светового импульса длительностью Δt разброс энергии не меньше ħ ÷ (2Δt). В частоте это Δf = 1 ÷ (4π Δt), поэтому импульс длительностью 1 нс не может быть уже примерно 80 МГц.
Почему в некоторых учебниках стоит h или ħ, а не ħ/2?
Старые и упрощённые формулировки пишут Δx Δp ≳ h или ≳ ħ для оценки порядка величины. Строгая граница ħ/2 относится к стандартным отклонениям — её и использует калькулятор. С ħ или h ответ будет в 2 или в 4π раз больше.