Калькулятор гиперболических функций
Введите число x и выберите прямые или обратные функции. Вы получите sh, ch, th, cth, sech и csch от x или arsh, arch, arth и arcth с восемью знаками после запятой. Функции, не определённые при данном x, не выводятся.
Работает в браузере: всё, что вы вводите, никуда не отправляется.
Как пользоваться
- Выберите sh, ch, th… для прямых функций или Обратные для arsh, arch, arth и arcth.
- Введите x. Можно отрицательные и дробные числа (через запятую или точку).
- Смотрите результат. Функция, не определённая при данном x (например, cth 0 или arch 0,5), в списке не показывается.
Формулы
- sh x = (eˣ − e⁻ˣ) / 2, ch x = (eˣ + e⁻ˣ) / 2
- th x = sh x / ch x, cth x = ch x / sh x (x ≠ 0)
- sech x = 1 / ch x, csch x = 1 / sh x (x ≠ 0)
- arsh x = ln(x + √(x² + 1))
- arch x = ln(x + √(x² − 1)), x ≥ 1
- arth x = ½ ln((1 + x) / (1 − x)), |x| < 1
- arcth x = ½ ln((x + 1) / (x − 1)), |x| > 1
Пример
Возьмём x = ln 2 ≈ 0,693147. Тогда eˣ = 2, e⁻ˣ = 0,5, поэтому sh x = (2 − 0,5)/2 = 0,75, ch x = (2 + 0,5)/2 = 1,25, th x = 0,75/1,25 = 0,6. Обратные величины: cth 1,66666667, sech 0,8, csch 1,33333333. Проверка: 1,25² − 0,75² = 1,5625 − 0,5625 = 1.
В режиме обратных функций x = 0,6 даёт arth 0,6 = ½ ln(1,6/0,4) = ½ ln 4 = 0,69314718 — снова ln 2.
Советы
- Тождества для проверки: ch² − sh² = 1, 1 − th² = sech², sh(2x) = 2 sh x ch x.
- ch — чётная функция, sh и th — нечётные: ch(−x) = ch x, sh(−x) = −sh x.
- Провисающий трос описывается цепной линией y = a ch(x/a) — так гиперболический косинус появляется в инженерных расчётах.
Частые вопросы
Что такое гиперболический синус и косинус?
sh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, ch x = (eˣ + e⁻ˣ)/2. Они параметризуют гиперболу x² − y² = 1 так же, как sin и cos — окружность, и связаны тождеством ch² x − sh² x = 1. В англоязычной литературе пишут sinh и cosh.
Как определяется гиперболический тангенс?
th x = sh x / ch x = (eˣ − e⁻ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ). Он меняется от −1 до 1, поэтому служит функцией активации в нейросетях. cth, sech и csch — обратные величины к th, ch и sh.
Что такое обратные гиперболические функции?
arsh x = ln(x + √(x² + 1)) для любого x, arch x = ln(x + √(x² − 1)) при x ≥ 1, arth x = ½ ln((1 + x)/(1 − x)) при |x| < 1. Их называют ареафункциями; встречаются обозначения asinh, sinh⁻¹.
x — в градусах или радианах?
Ни то ни другое: аргумент гиперболических функций — просто действительное число, а не угол. Его называют гиперболическим углом, он связан с площадью, поэтому режима градусов нет.