Как пользоваться
- Введите координаты вершины A (x и y), затем B и C. Можно дробные (через запятую) и отрицательные числа.
- Смотрите координаты центров и радиусы. Если точки лежат на одной прямой, треугольника нет — появится сообщение.
Формулы
Вершины (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), стороны a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|:
- Пересечение медиан: G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
- Центр описанной окружности: при D = 2(x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)) Oₓ = Σ(xᵢ² + yᵢ²)(yⱼ − yₖ)/D, O_y = Σ(xᵢ² + yᵢ²)(xₖ − xⱼ)/D; R = |OA|
- Центр вписанной окружности: I = (a·A + b·B + c·C)/(a + b + c); r = S / p, p — полупериметр
- Ортоцентр: H = A + B + C − 2O (прямая Эйлера)
- Площадь: |D| / 4 (формула площади Гаусса)
Пример
A(0; 0), B(6; 0), C(2; 4). Точка пересечения медиан (8/3; 4/3) = (2,6667; 1,3333). Центр описанной окружности лежит на прямой x = 3 (серединный перпендикуляр к AB); из |OA| = |OC| получаем 9 + y² = 1 + (y − 4)², y = 1, O = (3; 1), R = √10 = 3,1623. Ортоцентр 3G − 2O = (8 − 6; 4 − 2) = (2; 2).
Стороны a = √32 = 5,6569, b = √20 = 4,4721, c = 6, периметр 16,129. Центр вписанной окружности ((4,4721 × 6 + 6 × 2)/16,129; 6 × 4/16,129) = (2,4076; 1,488), при площади 12 радиус r = 24/16,129 = 1,488.
Советы
- В равностороннем треугольнике все четыре центра совпадают.
- В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности и ортоцентр лежат снаружи; центроид и центр вписанной окружности всегда внутри.
- Окружность через три точки: центр описанной окружности и R здесь — это и есть окружность, проходящая через A, B и C.