Cómo se usa
- Elige senh, cosh, tanh… para las funciones directas o Inversas para arcsenh, arccosh, arctanh y arccoth.
- Introduce x. Valen números negativos y decimales con coma.
- Lee los resultados. Una función que no está definida en x, como coth 0 o arccosh 0,5, no aparece en la lista.
Fórmulas
- senh x = (eˣ − e⁻ˣ) / 2, cosh x = (eˣ + e⁻ˣ) / 2
- tanh x = senh x / cosh x, coth x = cosh x / senh x (x ≠ 0)
- sech x = 1 / cosh x, csch x = 1 / senh x (x ≠ 0)
- arcsenh x = ln(x + √(x² + 1))
- arccosh x = ln(x + √(x² − 1)), x ≥ 1
- arctanh x = ½ ln((1 + x) / (1 − x)), |x| < 1
- arccoth x = ½ ln((x + 1) / (x − 1)), |x| > 1
Ejemplo resuelto
Toma x = ln 2 ≈ 0,693147. Entonces eˣ = 2 y e⁻ˣ = 0,5, así que senh x = (2 − 0,5)/2 = 0,75, cosh x = (2 + 0,5)/2 = 1,25 y tanh x = 0,75/1,25 = 0,6. Los inversos son coth 1,66666667, sech 0,8 y csch 1,33333333. Comprobación: 1,25² − 0,75² = 1,5625 − 0,5625 = 1.
En modo inverso, x = 0,6 da arctanh 0,6 = ½ ln(1,6/0,4) = ½ ln 4 = 0,69314718, otra vez ln 2.
Consejos
- Identidades para comprobar: cosh² − senh² = 1, 1 − tanh² = sech² y senh(2x) = 2 senh x cosh x.
- cosh es par; senh y tanh son impares: cosh(−x) = cosh x, senh(−x) = −senh x.
- Un cable colgante sigue la catenaria y = a cosh(x/a): así aparece el coseno hiperbólico en ingeniería.