Calculadora de convexidad de un bono
La duración indica aproximadamente cuánto se mueve el precio de un bono cuando cambian los tipos; la convexidad corrige esa estimación por la curvatura de la relación precio–rentabilidad. Introduce el nominal, el cupón, la TIR, los años al vencimiento y la frecuencia de cupones, y luego un cambio de rentabilidad en puntos porcentuales. Obtienes el precio, las dos duraciones, la convexidad, la variación estimada del precio y la exacta al volver a valorar el bono.
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Cómo se usa
- Introduce el nominal, el cupón anual y la TIR.
- Introduce los años al vencimiento y los cupones al año.
- Introduce un cambio de rentabilidad en puntos porcentuales, por ejemplo 1 o −0,5.
Fórmula
Con f cupones al año, N periodos, una rentabilidad por periodo i = y ÷ f y flujos CF_k:
- Precio P = Σ CF_k ÷ (1 + i)^k
- Duración de Macaulay = Σ k × VA_k ÷ P ÷ f; modificada = Macaulay ÷ (1 + i)
- Convexidad = Σ CF_k × k(k + 1) ÷ (1 + i)^(k+2) ÷ P ÷ f²
- ΔP ÷ P ≈ −modificada × Δy + ½ × convexidad × Δy²
La variación exacta vuelve a valorar el bono con la nueva rentabilidad. El bono se valora en fecha de pago de cupón.
Ejemplo
Un bono a 10 años con cupón semestral del 5 % y una TIR del 6 %:
- Precio 925,61, duración de Macaulay 7,895 años, modificada 7,665, convexidad 71,7854.
- Con +1 punto, la duración sola da −7,665 %; con convexidad, −7,3061 %.
- Al valorar al 7 % sale −7,318 % y un precio de 857,88.
Un bono a 2 años con cupón anual del 10 % a la par tiene un precio de 1000, una duración de Macaulay de 1,9091 y una convexidad de 4,6582.
Consejos
- Los bonos cupón cero y los largos tienen más convexidad; los bonos con opción de amortización anticipada pueden tenerla negativa, algo que esta fórmula de bono simple no muestra.
- Para movimientos pequeños basta la duración; la convexidad importa a partir de un punto.
- Algunas fuentes dan la convexidad dividida entre 100 o entre 2; comprueba el criterio antes de comparar.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la convexidad de un bono?
Mide cómo cambia la propia duración cuando se mueven los tipos. El precio cae menos cuando la rentabilidad sube, y sube más cuando baja, de lo que predice la duración sola; la convexidad recoge esa curvatura. Para un bono cupón cero a 10 años al 5 % con capitalización anual es 10 × 11 ÷ 1,05² = 99,77.
¿Cómo se estima la variación del precio con convexidad?
Variación % ≈ −duración modificada × Δy + ½ × convexidad × Δy², con Δy en tanto por uno. Para ese cupón cero y +1 punto: −9,5238 % + ½ × 99,7732 × 0,0001 = −9,0249 %, muy cerca del −9,0434 % exacto.
¿Por qué la convexidad favorece al inversor?
El término ½ × C × Δy² es positivo tanto si los tipos suben como si bajan, así que un bono con más convexidad pierde menos cuando suben y gana más cuando bajan que otro con la misma duración y menos convexidad.
¿En qué unidades se expresa?
En años al cuadrado, igual que la duración se expresa en años. La calculadora trabaja por periodos de cupón y divide entre la frecuencia al cuadrado, así que los resultados de bonos anuales y semestrales son comparables.